Analysis Beispiele

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} (x^{2} + \frac{1}{9}) (x - \frac{1}{3})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{3}$ annähert.

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} x^{2} + \frac{1}{9} \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{3}$ annähert.

$(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{9}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \frac{1}{3}$ annähert.

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \frac{1}{3}$ annähert.

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{3})$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{3}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \frac{1}{3}$ annähert.

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3})$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- \frac{1}{3}$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{3}$ für $x$ .

$({(- \frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3})$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- \frac{1}{3}$ für $x$ .

$({(- \frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3}$ an.

$({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 8.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$(1 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$(\frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 8.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(\frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 8.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{1}{9} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 1}{9} \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 8.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{9} \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{9} \cdot \frac{- 1 - 1}{3}$

Schritt 8.5

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{- 2}{3}$

Schritt 8.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{9} \cdot (- \frac{2}{3})$

Schritt 8.7

Multipliziere $\frac{2}{9} (- \frac{2}{3})$ .

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Schritt 8.7.1

Mutltipliziere $\frac{2}{9}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Schritt 8.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{4}{9 \cdot 3}$

Schritt 8.7.3

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$- \frac{4}{27}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{4}{27}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{148}$