Analysis Beispiele

$y = 2 x^{2} \sqrt{2 - x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - x}$ als ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 - x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - x$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - x$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{2} (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8.3

Bringe ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 14.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$2 (\frac{x^{2} \cdot - 1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 (\frac{- 1 \cdot x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 14.3.2

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$2 (\frac{- x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 14.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Schritt 16

Stelle um.

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Schritt 16.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} x)$

Schritt 16.2

Bewege ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 17

Um $2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 18

Kombiniere $2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{- x^{2} + 2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21

Multipliziere ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 21.1

Bewege ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x ({(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{1}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22

Vereinfache $4 x {(- x + 2)}^{1}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x (- x + 2)}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 23

Kombiniere $2$ und $\frac{- x^{2} + 4 x (- x + 2)}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x (- x + 2))}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 24

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x (- x + 2))}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 25

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2} + 4 x (- x + 2)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26

Vereinfache.

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Schritt 26.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} + 4 x (- x) + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 26.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 26.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- x^{2} + 4 \cdot - 1 x \cdot x + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 26.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 \cdot - 1 (x \cdot x) + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 \cdot - 1 x^{2} + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x^{2} + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x^{2} + 8 x}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.2.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 8 x}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.3

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{2} + 8 x$ heraus.

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Schritt 26.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- 5 x) + 8 x}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.3.2

Faktorisiere $x$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{x (- 5 x) + x \cdot 8}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 5 x) + x \cdot 8$ heraus.

$\frac{x (- 5 x + 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{x (- (5 x) + 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.5

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$\frac{x (- (5 x) - 1 (- 8))}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x) - 1 (- 8)$ heraus.

$\frac{x (- (5 x - 8))}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.7

Schreibe $- (5 x - 8)$ als $- 1 (5 x - 8)$ um.

$\frac{x (- 1 (5 x - 8))}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (5 x - 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$