Analysis Beispiele

$\frac{5 - x}{x^{3} + 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 5 - x$ und $g (x) = x^{3} + 2$ .

$\frac{(x^{3} + 2) \frac{d}{d x} [5 - x] - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{3} + 2) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{3} + 2) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{3} + 2) \frac{d}{d x} [- x] - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{3} + 2) (- \frac{d}{d x} [x]) - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} + 2) (- 1 \cdot 1) - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x^{3} + 2) \cdot - 1 - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{3} + 2$ .

$\frac{- 1 \cdot (x^{3} + 2) - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Schreibe $- 1 (x^{3} + 2)$ als $- (x^{3} + 2)$ um.

$\frac{- (x^{3} + 2) - (5 - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{- (x^{3} + 2) - (5 - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{- (x^{3} + 2) - (5 - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{- (x^{3} + 2) - (5 - x) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{- (x^{3} + 2) - (5 - x) (3 x^{2})}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- (x^{3} + 2) - 3 (5 - x) x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{3} - 1 \cdot 2 - 3 (5 - x) x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{3} - 1 \cdot 2 + (- 3 \cdot 5 - 3 (- x)) x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{3} - 1 \cdot 2 - 3 \cdot 5 x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- x^{3} - 2 - 3 \cdot 5 x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$\frac{- x^{3} - 2 - 15 x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} - 2 - 15 x^{2} - 3 (- (x^{2} x))}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- x^{3} - 2 - 15 x^{2} - 3 (- (x^{2} x^{1}))}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x^{3} - 2 - 15 x^{2} - 3 (- x^{2 + 1})}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- x^{3} - 2 - 15 x^{2} - 3 (- x^{3})}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{- x^{3} - 2 - 15 x^{2} + 3 x^{3}}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Addiere $- x^{3}$ und $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 - 15 x^{2}}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x^{3} - 15 x^{2} - 2}{{(x^{3} + 2)}^{2}}$