Analysis Beispiele

$\int_{- 5}^{2} (x^{2} + 3 x - 10) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 5}^{2} x^{2} + 3 x - 10 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 5}^{2} x^{2} d x + \int_{- 5}^{2} 3 x d x + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + \int_{- 5}^{2} 3 x d x + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + 3 \int_{- 5}^{2} x d x + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{2}) + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{2}) + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{2}) + - 10 x]_{- 5}^{2}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2}$ und $- 10 x]_{- 5}^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 10 x]_{- 5}^{2}$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $- 5$ .

$3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 10 x]_{- 5}^{2}$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} - 10 x$ bei $2$ und $- 5$ .

$3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 8.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$3 (2 - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.3

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$3 (2 - \frac{25}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.4

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{2 \cdot 2 - 25}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 \frac{4 - 25}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.7.2

Subtrahiere $25$ von $4$ .

$3 (\frac{- 21}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (- \frac{21}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 (\frac{21}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.10

Kombiniere $- 3$ und $\frac{21}{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot 21}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.11

Mutltipliziere $- 3$ mit $21$ .

$\frac{- 63}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{63}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.13

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{1}{3} \cdot 8 - 10 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.14

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8}{3} - 10 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.15

Mutltipliziere $- 10$ mit $2$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8}{3} - 20 - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.16

Um $- 20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.17

Kombiniere $- 20$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{63}{2} + \frac{8 - 20 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.19.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $3$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8 - 60}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.19.2

Subtrahiere $60$ von $8$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{- 52}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.21

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 125 - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.22

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 125$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (\frac{- 125}{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (- \frac{125}{3} - 10 \cdot - 5)$

Schritt 8.2.3.24

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 5$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (- \frac{125}{3} + 50)$

Schritt 8.2.3.25

Um $50$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (- \frac{125}{3} + 50 \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 8.2.3.26

Kombiniere $50$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (- \frac{125}{3} + \frac{50 \cdot 3}{3})$

Schritt 8.2.3.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - \frac{- 125 + 50 \cdot 3}{3}$

Schritt 8.2.3.28

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.28.1

Mutltipliziere $50$ mit $3$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - \frac{- 125 + 150}{3}$

Schritt 8.2.3.28.2

Addiere $- 125$ und $150$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - \frac{25}{3}$

Schritt 8.2.3.29

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{63}{2} + \frac{- 52 - 25}{3}$

Schritt 8.2.3.30

Subtrahiere $25$ von $- 52$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{- 77}{3}$

Schritt 8.2.3.31

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{63}{2} - \frac{77}{3}$

Schritt 8.2.3.32

Um $- \frac{63}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{77}{3}$

Schritt 8.2.3.33

Um $- \frac{77}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{63}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{77}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.2.3.34

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.3.34.1

Mutltipliziere $\frac{63}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{77}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.2.3.34.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{63 \cdot 3}{6} - \frac{77}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.2.3.34.3

Mutltipliziere $\frac{77}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{63 \cdot 3}{6} - \frac{77 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 8.2.3.34.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{63 \cdot 3}{6} - \frac{77 \cdot 2}{6}$

Schritt 8.2.3.35

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 63 \cdot 3 - 77 \cdot 2}{6}$

Schritt 8.2.3.36

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.36.1

Mutltipliziere $- 63$ mit $3$ .

$\frac{- 189 - 77 \cdot 2}{6}$

Schritt 8.2.3.36.2

Mutltipliziere $- 77$ mit $2$ .

$\frac{- 189 - 154}{6}$

Schritt 8.2.3.36.3

Subtrahiere $154$ von $- 189$ .

$\frac{- 343}{6}$

Schritt 8.2.3.37

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{343}{6}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{343}{6}$

Dezimalform:

$- 57.1\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 57 \frac{1}{6}$

Schritt 10