Analysis Beispiele

$\int \frac{w^{3} + w^{2} + w}{w^{3}} d w$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $w$ aus $w^{3} + w^{2} + w$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $w$ aus $w^{3}$ heraus.

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w^{2} + w}{w^{3}} d w$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $w$ aus $w^{2}$ heraus.

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w}{w^{3}} d w$

Schritt 1.1.3

Potenziere $w$ mit $1$ .

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w^{1}}{w^{3}} d w$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $w$ aus $w^{1}$ heraus.

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w \cdot 1}{w^{3}} d w$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $w$ aus $w \cdot w^{2} + w \cdot w$ heraus.

$\int \frac{w (w^{2} + w) + w \cdot 1}{w^{3}} d w$

Schritt 1.1.6

Faktorisiere $w$ aus $w (w^{2} + w) + w \cdot 1$ heraus.

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w^{3}} d w$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $w$ aus $w^{3}$ heraus.

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{w^{2} + w + 1}{w^{2}} d w$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $w^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (w^{2} + w + 1) {(w^{2})}^{- 1} d w$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(w^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (w^{2} + w + 1) w^{2 \cdot - 1} d w$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (w^{2} + w + 1) w^{- 2} d w$

Schritt 3

Multipliziere $(w^{2} + w + 1) w^{- 2}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (w^{2} + w) w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int w^{2} w^{- 2} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int w^{2 - 2} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Schritt 3.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\int w^{0} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Schritt 3.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int 1 + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Schritt 3.6

Potenziere $w$ mit $1$ .

$\int 1 + w^{1} w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 1 + w^{1 - 2} + 1 w^{- 2} d w$

Schritt 3.8

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\int 1 + w^{- 1} + 1 w^{- 2} d w$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $w^{- 2}$ mit $1$ .

$\int 1 + w^{- 1} + w^{- 2} d w$

Schritt 3.10

Stelle $1$ und $w^{- 1}$ um.

$\int w^{- 1} + 1 + w^{- 2} d w$

Schritt 3.11

Bewege $1$ .

$\int w^{- 1} + w^{- 2} + 1 d w$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int w^{- 1} d w + \int w^{- 2} d w + \int d w$

Schritt 5

Das Integral von $w^{- 1}$ nach $w$ ist $\ln (| w |)$ .

$\ln (| w |) + C + \int w^{- 2} d w + \int d w$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $w^{- 2}$ nach $w$ gleich $- w^{- 1}$ .

$\ln (| w |) + C - w^{- 1} + C + \int d w$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| w |) + C - w^{- 1} + C + w + C$

Schritt 8

Vereinfache.

$\ln (| w |) - \frac{1}{w} + w + C$