Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 2 \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \tan (t)$ an.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan^{2} (t) + 4$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ heraus.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Schreibe $4 \sec^{2} (t)$ als ${(2 \sec (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} (2 \sec (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \sec (t)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $2 \sec (t)$ aus ${(2 \tan (t))}^{2} (2 \sec (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{2 \sec (t) ({(2 \tan (t))}^{2})} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $2 \sec (t)$ aus $2 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{2 \sec (t) ({(2 \tan (t))}^{2})} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Schritt 2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{2 \sec (t) {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2}}$ und $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(2 \tan (t))}^{2}} d t$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{\sec (t)}{{(2 (\tan (t)))}^{2}} d t$

Schritt 2.2.3.2

Wende die Produktregel auf $2 (\tan (t))$ an.

$\int \frac{\sec (t)}{2^{2} \tan^{2} (t)} d t$

Schritt 2.2.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $\sec (x)$ als $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ um.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Schritt 4.2

Wende die Kehrwertfunktion an.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 4.3.2

Kombinieren.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\csc (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cot (t)}$ an.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 4.3.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 4.3.5

Kombiniere $\cot (t)$ und $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.6.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 4.3.6.2

Faktorisiere $\cot (t)$ aus ${\cot (t)}^{2}$ heraus.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Schritt 4.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Schritt 4.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Schritt 4.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Schritt 5

Da die Ableitung von $- \csc (t)$ gleich $\csc (t) \cot (t)$ ist, ist das Integral von $\csc (t) \cot (t)$ gleich $- \csc (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\csc (t)$ .

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\csc (\arctan (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{x}{2})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{x}{2})$ verläuft. Folglich ist $\csc (\arctan (\frac{x}{2}))$ $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

Schritt 8.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$- \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.7

Schreibe $\frac{4 + x^{2}}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ um.

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Schritt 8.1.7.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $4 + x^{2}$ heraus.

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.7.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.7.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Schritt 8.1.10

Kombinieren.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 2}{2 x}}{4} + C$

Schritt 8.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 2}{2 x}}{4} + C$

Schritt 8.1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Schritt 8.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Schritt 8.3

Kombinieren.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\sqrt{4 + x^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

Schritt 8.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{4 x} + C$