Analysis Beispiele

$y = (4 x^{2} - \frac{1}{2} x) (9 x + 8)$

Schritt 1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 x + 8)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x^{2} - \frac{x}{2}$ und $g (x) = 9 x + 8$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [9 x + 8] + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Schritt 3.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Schritt 3.5

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 + 0) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $9$ und $0$ .

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) \cdot 9 + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Schritt 3.6.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $4 x^{2} - \frac{x}{2}$ .

$9 \cdot (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - \frac{x}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Schritt 3.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Schritt 3.11

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2})$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x) + (9 x + 8) (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + (9 x + 8) (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5

Vereine die Terme

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$36 x^{2} + 9 (- \frac{x}{2}) + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$36 x^{2} - 9 \frac{x}{2} + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.3

Kombiniere $- 9$ und $\frac{x}{2}$ .

$36 x^{2} + \frac{- 9 x}{2} + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.5

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x \cdot x + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 (x^{1} x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 (x^{1} x^{1}) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{1 + 1} + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.9

Addiere $1$ und $1$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.10

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - 9 x \frac{1}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.12

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + x \frac{- 9}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.13

Kombiniere $x$ und $\frac{- 9}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + \frac{x \cdot - 9}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.14

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $x$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + \frac{- 9 \cdot x}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

Schritt 4.5.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} - 8 (\frac{1}{2})$

Schritt 4.5.17

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{- 8}{2}$

Schritt 4.5.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

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Schritt 4.5.18.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2}$

Schritt 4.5.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Schritt 4.5.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{- 4}{1}$

Schritt 4.5.18.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} - 4$

Schritt 4.5.19

Um $64 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 x}{2} - 4$

Schritt 4.5.20

Kombiniere $64 x$ und $\frac{2}{2}$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{64 x \cdot 2}{2} - \frac{9 x}{2} - 4$

Schritt 4.5.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{64 x \cdot 2 - 9 x}{2} - 4$

Schritt 4.5.22

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{128 x - 9 x}{2} - 4$

Schritt 4.5.23

Subtrahiere $9 x$ von $128 x$ .

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{119 x}{2} - 4$

Schritt 4.5.24

Addiere $36 x^{2}$ und $72 x^{2}$ .

$108 x^{2} - \frac{9 x}{2} + \frac{119 x}{2} - 4$

Schritt 4.5.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$108 x^{2} + \frac{- 9 x + 119 x}{2} - 4$

Schritt 4.5.26

Addiere $- 9 x$ und $119 x$ .

$108 x^{2} + \frac{110 x}{2} - 4$

Schritt 4.5.27

Kürze den gemeinsamen Teiler von $110$ und $2$ .

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Schritt 4.5.27.1

Faktorisiere $2$ aus $110 x$ heraus.

$108 x^{2} + \frac{2 (55 x)}{2} - 4$

Schritt 4.5.27.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.27.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$108 x^{2} + \frac{2 (55 x)}{2 (1)} - 4$

Schritt 4.5.27.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$108 x^{2} + \frac{2 (55 x)}{2 \cdot 1} - 4$

Schritt 4.5.27.2.3

Forme den Ausdruck um.

$108 x^{2} + \frac{55 x}{1} - 4$

Schritt 4.5.27.2.4

Dividiere $55 x$ durch $1$ .

$108 x^{2} + 55 x - 4$