Analysis Beispiele

$\frac{x + y}{x - y} = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y}) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + y$ und $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.7

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.1.1

Multipliziere $(x - y) (1 + y')$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.8.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.3

Multipliziere $(- x - y) (1 - y')$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.8.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4.2

Multipliziere $- x (- y')$ .

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Schritt 2.8.2.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4.4

Multipliziere $- y (- y')$ .

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Schritt 2.8.2.1.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ .

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Schritt 2.8.2.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.2.2

Addiere $x y' - y - y y'$ und $0$ .

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.2.3

Addiere $- y y'$ und $y y'$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.2.4

Addiere $x y' - y + x y' - y$ und $0$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.3

Addiere $x y'$ und $x y'$ .

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.4

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x y' - 2 y$ heraus.

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Schritt 2.8.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x y'$ heraus.

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 2.8.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x y') + 2 (- y)$ heraus.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} = 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit ${(x - y)}^{2}$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2} = 1 {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - y)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2} = 1 {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (x y' - y) = 1 {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x y') + 2 (- y) = 1 {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 x y' - 2 y = 1 {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Bewege $x$ .

$2 y' x - 2 y = 1 {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere ${(x - y)}^{2}$ mit $1$ .

$2 y' x - 2 y = {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(x - y)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Forme um.

$2 y' x - 2 y = 0 + 0 + {(x - y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe ${(x - y)}^{2}$ als $(x - y) (x - y)$ um.

$2 y' x - 2 y = (x - y) (x - y)$

Schritt 5.3.1.3

Multipliziere $(x - y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' x - 2 y = x (x - y) - y (x - y)$

Schritt 5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' x - 2 y = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Schritt 5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' x - 2 y = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Schritt 5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 y' x - 2 y = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Schritt 5.3.1.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' x - 2 y = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Schritt 5.3.1.4.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' x - 2 y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Schritt 5.3.1.4.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.4.1.4.1

Bewege $y$ .

$2 y' x - 2 y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Schritt 5.3.1.4.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 y' x - 2 y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Schritt 5.3.1.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 y' x - 2 y = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Schritt 5.3.1.4.1.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$2 y' x - 2 y = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Schritt 5.3.1.4.2

Subtrahiere $y x$ von $- x y$ .

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Schritt 5.3.1.4.2.1

Bewege $y$ .

$2 y' x - 2 y = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Schritt 5.3.1.4.2.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$2 y' x - 2 y = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Schritt 5.3.2

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' x = x^{2} - 2 x y + y^{2} + 2 y$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' x = x^{2} - 2 x y + y^{2} + 2 y$ durch $2 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' x = x^{2} - 2 x y + y^{2} + 2 y$ durch $2 x$ .

$\frac{2 y' x}{2 x} = \frac{x^{2}}{2 x} + \frac{- 2 x y}{2 x} + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' x}{2 x} = \frac{x^{2}}{2 x} + \frac{- 2 x y}{2 x} + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' x}{x} = \frac{x^{2}}{2 x} + \frac{- 2 x y}{2 x} + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' x}{x} = \frac{x^{2}}{2 x} + \frac{- 2 x y}{2 x} + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{x^{2}}{2 x} + \frac{- 2 x y}{2 x} + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.3.3.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x \cdot x}{2 x} + \frac{- 2 x y}{2 x} + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$y' = \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} + \frac{- 2 x y}{2 x} + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} + \frac{- 2 x y}{2 x} + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x}{2} + \frac{- 2 x y}{2 x} + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x y$ heraus.

$y' = \frac{x}{2} + \frac{2 (- x y)}{2 x} + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y' = \frac{x}{2} + \frac{2 (- x y)}{2 (x)} + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x}{2} + \frac{2 (- x y)}{2 x} + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x}{2} + \frac{- x y}{x} + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x}{2} + \frac{- x y}{x} + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.3.1.3.2

Dividiere $- y$ durch $1$ .

$y' = \frac{x}{2} - y + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x}{2} - y + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x}{2} - y + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2} - y + \frac{y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x}$