Analysis Beispiele

$\sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{x^{2} + 1}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4

Sei $x = \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5

Vereinfache $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Schritt 5.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 6

Multipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{2} (t)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{2} (t)$ .

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Schritt 6.1.1

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Schritt 6.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\int \sec^{3} (t) d t$

Schritt 7

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{3} (t)$ heraus.

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 8

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (t)$ und $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 9

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Schritt 10

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Schritt 11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Schritt 12.2

Stelle $\tan^{2} (t)$ und $\sec (t)$ um.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 13

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 14

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 14.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 14.3

Stelle $\sec (t)$ und $- 1$ um.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 15

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Schritt 16

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Schritt 17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Schritt 18

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Schritt 19

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Schritt 21

Addiere $2$ und $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Schritt 22

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 23

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 24

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 25

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 25.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Schritt 25.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Schritt 26

Wenn nach $\int \sec^{3} (t) d t$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

Schritt 27

Mutltipliziere $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ mit $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

Schritt 28

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 29

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$

Schritt 30

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$