Analysis Beispiele

$y = (5 x - 3) (4 x - \frac{3}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 5 x - 3$ und $g (x) = 4 x - \frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x - \frac{3}{x}] + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - \frac{3}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

$(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(5 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Schritt 2.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{x}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Schritt 2.6

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 (- x^{- 2})) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Schritt 2.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.10

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.13

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + 0)$

Schritt 2.14

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.14.1

Addiere $5$ und $0$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \cdot 5$

Schritt 2.14.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $4 x - \frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + 5 \cdot (4 x - \frac{3}{x})$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x - \frac{3}{x})$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + 5 (- \frac{3}{x})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - 5 \frac{3}{x}$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 5 \cdot 3}{x}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 15}{x}$

Schritt 3.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - \frac{15}{x}$

Schritt 3.3.7

Um $(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x}{x} - \frac{15}{x}$

Schritt 3.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Schritt 3.3.9

Um $20 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{20 x \cdot x}{x} + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Schritt 3.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20 x \cdot x + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Schritt 3.3.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{20 (x^{1} x) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Schritt 3.3.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{20 (x^{1} x^{1}) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Schritt 3.3.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{20 x^{1 + 1} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Schritt 3.3.14

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{20 x^{2} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{20 x^{2} + x (4 + \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{20 x^{2} + (x \cdot 4 + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Schritt 3.5.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Schritt 3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Schritt 3.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Schritt 3.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + \frac{3}{x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Schritt 3.5.4

Multipliziere $(4 x + \frac{3}{x}) (5 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x - 3) + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

Schritt 3.5.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

Schritt 3.5.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Schritt 3.5.5.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.5.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Schritt 3.5.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Schritt 3.5.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Schritt 3.5.5.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Schritt 3.5.5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 5 \frac{3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Schritt 3.5.5.6

Multipliziere $5 \frac{3}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.5.6.1

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{x}$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{5 \cdot 3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Schritt 3.5.5.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Schritt 3.5.5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.5.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Schritt 3.5.5.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Schritt 3.5.5.8

Multipliziere $\frac{3}{x} \cdot - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.5.8.1

Kombiniere $\frac{3}{x}$ und $- 3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3 \cdot - 3}{x} - 15}{x}$

Schritt 3.5.5.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{- 9}{x} - 15}{x}$

Schritt 3.5.5.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

Schritt 3.5.6

Addiere $20 x^{2}$ und $20 x^{2}$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

Schritt 3.5.7

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x} + 0}{x}$

Schritt 3.5.8

Addiere $40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}$ und $0$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}}{x}$

Schritt 3.5.9

Um $40 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x}{x} - \frac{9}{x}}{x}$

Schritt 3.5.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x - 9}{x}}{x}$

Schritt 3.5.11

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.11.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x \cdot x^{2}) - 9}{x}}{x}$

Schritt 3.5.11.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x^{1} x^{2}) - 9}{x}}{x}$

Schritt 3.5.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{1 + 2} - 9}{x}}{x}$

Schritt 3.5.11.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Schritt 3.5.12

Um $- 12 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 12 x \cdot \frac{x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Schritt 3.5.13

Kombiniere $- 12 x$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Schritt 3.5.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Schritt 3.5.15

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.15.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.15.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{- 12 (x \cdot x) + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Schritt 3.5.15.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{- 12 x^{2} + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Schritt 3.5.15.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}}{x}$

Schritt 3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 3.7

Multipliziere $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x \cdot x}$

Schritt 3.7.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x}$

Schritt 3.7.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x^{1}}$

Schritt 3.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1 + 1}}$

Schritt 3.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{2}}$