Analysis Beispiele

$y = x \sqrt{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Schritt 1.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Schritt 1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.8

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.10

Multipliziere.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 2.10.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$