Analysis Beispiele

$\int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

Schritt 1

Sei $u = θ^{2}$ . Dann ist $d u = 2 θ d θ$ , folglich $\frac{1}{2} d u = θ d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = θ^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d θ}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $θ^{2}$ .

$\frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 θ$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $θ$ in $u = θ^{2}$ ein.

$u_{lower} = {\sqrt{\frac{π}{2}}}^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{π}{2}}$ als $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ um.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Schritt 1.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Schritt 1.3.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Schritt 1.3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Schritt 1.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Schritt 1.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Schritt 1.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Schritt 1.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Schritt 1.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Schritt 1.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Schritt 1.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Schritt 1.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 1.3.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2})}^{2}$

Schritt 1.3.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ an.

$u_{lower} = \frac{{\sqrt{π \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.1

Schreibe ${\sqrt{π \cdot 2}}^{2}$ als $π \cdot 2$ um.

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Schritt 1.3.6.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{π \cdot 2}$ als ${(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u_{lower} = \frac{{({(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 1.3.6.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 1.3.6.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 1.3.6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.6.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 1.3.6.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

Schritt 1.3.6.1.5

Vereinfache.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 2}{2^{2}}$

Schritt 1.3.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2^{2}}$

Schritt 1.3.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

Schritt 1.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

Schritt 1.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $θ$ in $u = θ^{2}$ ein.

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Schritt 1.5

Schreibe ${\sqrt{π}}^{2}$ als $π$ um.

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Schritt 1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{π}$ als $π^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π^{1}$

Schritt 1.5.5

Vereinfache.

$u_{upper} = π$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u}{2} \cos (u) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{u}{2}$ und $\cos (u)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u \cos (u)}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (u) d u)$

Schritt 5

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $u \sin (u)$ bei $π$ und $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Schritt 6.2

Berechne $- \cos (u)$ bei $π$ und $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Kombiniere $\sin (\frac{π}{2})$ und $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Schritt 6.3.2

Um $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 6.3.3

Kombiniere $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} + \frac{- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Schritt 6.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Schritt 7.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Schritt 7.4

Addiere $- \cos (π)$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π))}{2})$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Schritt 7.6

Um $π \sin (π)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Schritt 7.7

Kombiniere $π \sin (π)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \sin (π) \cdot 2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Schritt 7.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sin (π) \cdot 2 - π + 2 \cos (π)}{2}$

Schritt 7.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π \sin (π)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (π \sin (π)) - π + 2 \cos (π)}{2}$

Schritt 7.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2}$ .

$\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.11

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{4}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{2 π \sin (0) - π + 2 \cos (π)}{4}$

Schritt 8.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{2 π \cdot 0 - π + 2 \cos (π)}{4}$

Schritt 8.3

Multipliziere $2 π \cdot 0$ .

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{0 π - π + 2 \cos (π)}{4}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{0 - π + 2 \cos (π)}{4}$

Schritt 8.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{0 - π + 2 (- \cos (0))}{4}$

Schritt 8.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0 - π + 2 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0 - π + 2 \cdot - 1}{4}$

Schritt 8.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{0 - π - 2}{4}$

Schritt 8.8

Subtrahiere $π$ von $0$ .

$\frac{- π - 2}{4}$

Schritt 8.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- π$ heraus.

$\frac{- (π) - 2}{4}$

Schritt 8.10

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{- (π) - 1 (2)}{4}$

Schritt 8.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (π) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- (π + 2)}{4}$

Schritt 8.12

Schreibe $- (π + 2)$ als $- 1 (π + 2)$ um.

$\frac{- 1 (π + 2)}{4}$

Schritt 8.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{π + 2}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{π + 2}{4}$

Dezimalform:

$- 1.28539816 \dots$