Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{3}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(3 i)}^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$3^{3} i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Schritt 1.2.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Schritt 1.2.3

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$27 i^{3} + 3 (3^{2} i^{2}) \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.4.1

Bewege $3^{2}$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $3^{2}$ mit $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Schritt 1.2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$27 i^{3} + 3^{2 + 1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Schritt 1.2.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$27 i^{3} + 3^{3} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Schritt 1.2.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 i^{3} + 27 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $27$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Schritt 1.2.8

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i \cdot 4 + {(- 2)}^{3}$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i + {(- 2)}^{3}$

Schritt 1.2.10

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

Schritt 1.3

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8 = 27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3} - 54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} + 36 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} - 8$

Schritt 3

Berechne $27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $3$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(27) (\frac{7^{2} {(7 + 1)}^{2}}{4})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $7$ und $1$ .

$27 \frac{7^{2} \cdot 8^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 8^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 64}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $49$ mit $64$ .

$27 (\frac{3136}{4})$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $3136$ durch $4$ .

$27 \cdot 784$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $27$ mit $784$ .

$21168$

Schritt 4

Berechne $54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 54) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $7$ und $1$ .

$- 54 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$- 54 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$- 54 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.3

Addiere $14$ und $1$ .

$- 54 \frac{56 \cdot 15}{6}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $56$ mit $15$ .

$- 54 (\frac{840}{6})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $- 54$ heraus.

$6 (- 9) \frac{840}{6}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \cdot - 9 \frac{840}{6}$

Schritt 4.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 9 \cdot 840$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $840$ .

$- 7560$

Schritt 5

Berechne $36 \sum_{i = 1}^{7} i$ .

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Schritt 5.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 5.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(36) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1.1

Addiere $7$ und $1$ .

$36 \frac{7 \cdot 8}{2}$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$36 (\frac{56}{2})$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$2 (18) \frac{56}{2}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 18 \frac{56}{2}$

Schritt 5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$18 \cdot 56$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $18$ mit $56$ .

$1008$

Schritt 6

Berechne $\sum_{i = 1}^{7} - 8$ .

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Schritt 6.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 6.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(- 8) (7)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $7$ .

$- 56$

Schritt 7

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$21168 - 7560 + 1008 - 56$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $7560$ von $21168$ .

$13608 + 1008 - 56$

Schritt 8.2

Addiere $13608$ und $1008$ .

$14616 - 56$

Schritt 8.3

Subtrahiere $56$ von $14616$ .

$14560$