Analysis Beispiele

$\log_{a} (2 x^{3} + 7)$

Schritt 1

Schreibe $\log_{a} (2 x^{3} + 7)$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 1.1

Die Regel zur Basisumrechnung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als 0 und nicht gleich 1 sind und $x$ größer als 0 ist.

$\frac{d}{d x} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Schritt 1.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = e$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}]$

Schritt 2

Da $\frac{1}{\ln (a)}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$ .

$\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x^{3} + 7$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{2 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x^{3} + 7}$ mit $\frac{1}{\ln (a)}$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7]$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 4.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 4.6

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + 0)$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2})$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ .

$\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} x^{2}$

Schritt 4.7.3

Kombiniere $\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ und $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{2}}{2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $\ln (a)$ aus $2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $\ln (a)$ aus $2 x^{3} \ln (a)$ heraus.

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + 7 \ln (a)}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $\ln (a)$ aus $7 \ln (a)$ heraus.

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $\ln (a)$ aus $\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7$ heraus.

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3} + 7)}$