Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} - 10 + x^{2} & - 4 \leq x < 4 \\ 12 - x & x \geq 4 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $- 10 + x^{2}$ , wenn sich $x$ von links $4$ nähert.

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Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen linksseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 4^{-}} - 10 + x^{2}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$- lim_{x \to 4^{-}} 10 + lim_{x \to 4^{-}} x^{2}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$- 1 \cdot 10 + lim_{x \to 4^{-}} x^{2}$

Schritt 1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 10 + {(lim_{x \to 4^{-}} x)}^{2}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$- 10 + 4^{2}$

Schritt 1.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.4.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- 10 + 16$

Schritt 1.4.2

Addiere $- 10$ und $16$ .

$6$

Schritt 2

Berechne $12 - x$ bei $4$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$12 - (4)$

Schritt 2.2

Berechne.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$12 - 4$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$8$

Schritt 3

Da die Grenze von $- 10 + x^{2}$ bei Annäherung von $x$ an $4$ von links nicht gleich dem Funktionswert bei $x = 4$ ist, ist die Funktion bei $x = 4$ nicht kontinuierlich.

Nicht stetig

Schritt 4