Analysis Beispiele

$x + 3 y^{\frac{1}{3}} = y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x + 3 y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3 y^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

Schritt 2.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

Schritt 2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

Schritt 2.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

Schritt 2.2.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

Schritt 2.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

Schritt 2.2.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

Schritt 2.2.10

Kombiniere $\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $y'$ .

$1 + 3 \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

Schritt 2.2.11

Bringe $y^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $3$ und $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2.13

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2.14

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} = y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y' = - 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ heraus.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) - y' = - 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) + y' \cdot - 1 = - 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

Schritt 5.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y' (\frac{1^{2}}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

Schritt 5.4

Schreibe $y^{\frac{2}{3}}$ als ${(y^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$y' (\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}} - 1) = - 1$

Schritt 5.5

Schreibe $\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ als ${(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ um.

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1) = - 1$

Schritt 5.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1^{2}) = - 1$

Schritt 5.7

Faktorisiere.

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Schritt 5.7.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ und $b = 1$ .

$y' ((\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)) = - 1$

Schritt 5.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$

Schritt 5.8

Teile jeden Ausdruck in $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ durch $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.8.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ durch $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ .

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Schritt 5.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Schritt 5.8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Schritt 5.8.2.4

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Schritt 5.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.8.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.8.3.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Schritt 5.8.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Schritt 5.8.3.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

Schritt 5.8.3.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

Schritt 5.8.3.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 5.8.3.2

Mutltipliziere $\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 5.8.3.3

Multipliziere $y^{\frac{1}{3}}$ mit $y^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.8.3.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}}$

Schritt 5.8.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1 + 1}{3}}}}$

Schritt 5.8.3.3.3

Addiere $1$ und $1$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 5.8.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$