Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} (1 - | x |) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 1}^{1} 1 - | x | d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{1} d x + \int_{- 1}^{1} - | x | d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - | x | d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} | x | d x$

Schritt 5

Teile das Integral auf in Abhängigkeit davon, ob $x$ positiv oder negativ ist.

$x]_{- 1}^{1} - (\int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{1} x d x)$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x]_{- 1}^{1} - (- \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{0}^{1} x d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x d x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x d x)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 10.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Berechne $x$ bei $1$ und $- 1$ .

$(1) + 1 - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 10.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $0$ und $- 1$ .

$(1) + 1 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 10.2.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$(1) + 1 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4

Vereinfache.

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Schritt 10.2.4.1

Addiere $1$ und $1$ .

$2 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 - (- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$2 - (- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 - (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 - (- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 - (- (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 - (- (0 - \frac{1}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.5

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$2 - (- - \frac{1}{2} + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 - (1 (\frac{1}{2}) + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.7

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} + (\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 10.2.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.10.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 10.2.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 10.2.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 10.2.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Schritt 10.2.4.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0)$

Schritt 10.2.4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0)$

Schritt 10.2.4.12

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 10.2.4.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 - \frac{1 + 1}{2}$

Schritt 10.2.4.14

Addiere $1$ und $1$ .

$2 - \frac{2}{2}$

Schritt 10.2.4.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.4.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - \frac{2}{2}$

Schritt 10.2.4.15.2

Forme den Ausdruck um.

$2 - 1 \cdot 1$

Schritt 10.2.4.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 - 1$

Schritt 10.2.4.17

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$1$

Schritt 11