Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 2 \cdot 2}{h}$

Schritt 1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4}{h}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2 (2 + h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(2 + h)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2 (2 + h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2 (2 + h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2 (2 + h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 lim_{h \to 0} 2 + h - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 (lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 (2 + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.8

Berechne den Grenzwert von ${(2)}^{3}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 (2 + lim_{h \to 0} h) - {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.9

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 (2 + lim_{h \to 0} h) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 2.1.2.10.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{3} + 2 (2 + lim_{h \to 0} h) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.10.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{3} + 2 (2 + 0) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.11.1.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2^{3} + 2 (2 + 0) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.11.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8 + 2 (2 + 0) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.11.1.3

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{8 + 2 \cdot 2 - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.11.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{8 + 4 - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.11.1.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8 + 4 - 1 \cdot 8 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.11.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 + 4 - 8 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.11.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{8 + 4 - 8 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.11.2

Addiere $8$ und $4$ .

$\frac{12 - 8 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.11.3

Subtrahiere $8$ von $12$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.2.11.4

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - 1 \cdot 8 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - 1 \cdot 8 - 4$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{3}$ und $g (h) = 2 + h$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.3

Da $2$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.5

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.5

Berechne $\frac{d}{d h} [2 (2 + h)]$ .

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Schritt 2.3.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $2 (2 + h)$ nach $h$ gleich $2 \frac{d}{d h} [2 + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.5.3

Da $2$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.5.5

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.5.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.6

Berechne $\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]$ .

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + \frac{d}{d h} [- 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.6.2

Da $- 8$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + 0 + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.7

Da $- 4$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.8.1.1

Addiere $3 {(2 + h)}^{2} + 2$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.8.1.2

Addiere $3 {(2 + h)}^{2} + 2$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.8.2.1

Schreibe ${(2 + h)}^{2}$ als $(2 + h) (2 + h)$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{3 ((2 + h) (2 + h)) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.8.2.2

Multipliziere $(2 + h) (2 + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.8.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (2 (2 + h) + h (2 + h)) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.8.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (2 \cdot 2 + 2 h + h (2 + h)) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.8.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (2 \cdot 2 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.8.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.8.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.8.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.8.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h + 2 \cdot h + h \cdot h) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.8.2.3.1.3

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h + 2 h + h^{2}) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.8.2.3.2

Addiere $2 h$ und $2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 4 h + h^{2}) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.8.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{h \to 0} \frac{3 \cdot 4 + 3 (4 h) + 3 h^{2} + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.8.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 + 3 (4 h) + 3 h^{2} + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.8.2.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 + 12 h + 3 h^{2} + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.8.3

Addiere $12$ und $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 h + 3 h^{2} + 14}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 2.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{12 h + 3 h^{2} + 14}{1}$

Schritt 2.4

Dividiere $12 h + 3 h^{2} + 14$ durch $1$ .

$lim_{h \to 0} 12 h + 3 h^{2} + 14$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 12 h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 14$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$12 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 14$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$12 lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 14$

Schritt 3.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$12 lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 14$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $14$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$12 lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 14$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$12 \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 14$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$12 \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 14$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$0 + 3 \cdot 0^{2} + 14$

Schritt 5.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 3 \cdot 0 + 14$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 + 0 + 14$

Schritt 5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 14$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $14$ .

$14$