Analysis Beispiele

$y = \sqrt{2 x} + 2 \sqrt{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{2 x} + 2 \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.4

Da $2^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.12

Kombiniere $2^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.13

Bringe $2^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.14

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.15

Multipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.15.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.15.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.15.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.15.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.15.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 2.15.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.10

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$