Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{18 x^{2} - 3 x + 2}{2 x^{2} + 5}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 x^{2} - 3 x + 2}{2 x^{2} + 5}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{18 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 3.1.1.2

Dividiere $18$ durch $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 + \frac{x \cdot - 3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 + \frac{- 3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{18 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 18 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 18 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $18$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\sqrt{\frac{18 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{18 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\sqrt{\frac{18 - 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{18 - 3 \cdot 0 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 6

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\sqrt{\frac{18 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\sqrt{\frac{18 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\sqrt{\frac{18 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}$

Schritt 7.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{18 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\sqrt{\frac{18 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2 + 5 \cdot 0}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\sqrt{\frac{18 + 0 + 2 \cdot 0}{2 + 5 \cdot 0}}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\sqrt{\frac{18 + 0 + 0}{2 + 5 \cdot 0}}$

Schritt 9.3

Addiere $18 + 0$ und $0$ .

$\sqrt{\frac{18 + 0}{2 + 5 \cdot 0}}$

Schritt 9.4

Addiere $18$ und $0$ .

$\sqrt{\frac{18}{2 + 5 \cdot 0}}$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\sqrt{\frac{18}{2 + 0}}$

Schritt 9.6

Addiere $2$ und $0$ .

$\sqrt{\frac{18}{2}}$

Schritt 9.7

Dividiere $18$ durch $2$ .

$\sqrt{9}$

Schritt 9.8

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2}}$

Schritt 9.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3$