Analysis Beispiele

$y = \frac{v^{3} - 2 v \sqrt{v}}{v}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{v}$ als $v^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v \cdot v^{\frac{1}{2}}}{v}]$

Schritt 2

Multipliziere $v$ mit $v^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1

Bewege $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 (v^{\frac{1}{2}} v)}{v}]$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $v^{\frac{1}{2}}$ mit $v$ .

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Schritt 2.2.1

Potenziere $v$ mit $1$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 (v^{\frac{1}{2}} v^{1})}{v}]$

Schritt 2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1}{2} + 1}}{v}]$

Schritt 2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{v}]$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1 + 2}{2}}}{v}]$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{3}{2}}}{v}]$

Schritt 3

Faktorisiere $v^{\frac{3}{2}}$ aus $v^{3} - 2 v^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $v^{\frac{3}{2}}$ aus $v^{3}$ heraus.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} - 2 v^{\frac{3}{2}}}{v}]$

Schritt 3.2

Faktorisiere $v^{\frac{3}{2}}$ aus $- 2 v^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{v}]$

Schritt 3.3

Faktorisiere $v^{\frac{3}{2}}$ aus $v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 2$ heraus.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)}{v}]$

Schritt 4

Bringe $v^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2) v^{- 1}]$

Schritt 5

Multipliziere $v^{\frac{3}{2}}$ mit $v^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $v^{- 1}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{- 1} v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Schritt 5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d v} [v^{- 1 + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Schritt 5.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Schritt 5.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 2 + 3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Schritt 5.6.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ gleich $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ ist mit $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ und $g (v) = v^{\frac{3}{2}} - 2$ .

$v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}} - 2] + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $v^{\frac{3}{2}} - 2$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d v} [- 2]$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 11.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $v^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 13

Da $- 2$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + 0) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.1

Addiere $\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $0$ .

$v^{\frac{1}{2}} \frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 14.2

Kombiniere $v^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (3 v^{\frac{1}{2}})}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 15

Multipliziere $v^{\frac{1}{2}}$ mit $v^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.1

Bewege $v^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 15.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{v^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 15.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{v^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 15.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{v^{\frac{2}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 15.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{v^{1} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 16.1

Vereinfache $v^{1} \cdot 3$ .

$\frac{v \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 16.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $v$ .

$\frac{3 \cdot v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 18

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 19

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 21.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 21.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 23

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 24

Bringe $v^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 25

Um $(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 26

Kombiniere $(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 v}{2} + \frac{(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2}$

Schritt 27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2}$

Schritt 28

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{2}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 29

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{2}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 30

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 31

Vereinfache.

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Schritt 31.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 v + v^{\frac{3}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 31.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 31.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 31.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 31.2.1.1.1

Faktorisiere $v^{\frac{1}{2}}$ aus $v^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{3 v + v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{2}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 31.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 v + v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{2}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 31.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 v + v^{\frac{2}{2}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 31.2.1.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{3 v + v^{1} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 31.2.1.3

Vereinfache.

$\frac{3 v + v - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 31.2.1.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 v + v + \frac{- 2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 31.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 v + v - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 31.2.2

Addiere $3 v$ und $v$ .

$\frac{4 v - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 31.3

Vereine die Terme

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Schritt 31.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 v$ heraus.

$\frac{2 (2 v) - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Schritt 31.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$\frac{2 (2 v) + 2 (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2}$

Schritt 31.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 v) + 2 (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2}$

Schritt 31.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 31.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2 (1)}$

Schritt 31.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 1}$

Schritt 31.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 31.3.4.4

Dividiere $2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ durch $1$ .

$2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$