Analysis Beispiele

$a = π r \sqrt{r^{2} + h^{2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{r^{2} + h^{2}}$ als ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$a = π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d h} (a) = \frac{d}{d h} (π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Da $a$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $a$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $π$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $π r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ nach $h$ gleich $π \frac{d}{d h} [r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$π \frac{d}{d h} [r {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ gleich $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ist mit $f (h) = r$ und $g (h) = {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$π (r \frac{d}{d h} [{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ und $g (h) = r^{2} + h^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $r^{2} + h^{2}$ .

$π (r (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $r^{2} + h^{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 4.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$π (r (\frac{1}{2} {(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.8.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$π (r (\frac{{(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.8.2.2

Bringe ${(r^{2} + h^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$π (r (\frac{1}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.8.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d h} [r^{2} + h^{2}] + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.8.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $r^{2} + h^{2}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [r^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d h} [r^{2}] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{2}$ und $g (h) = r$ .

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Schritt 4.9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.9.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $r$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r \frac{d}{d h} [r] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.10

Schreibe $\frac{d}{d h} [r]$ als $r'$ um.

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d h} [r])$

Schritt 4.12

Schreibe $\frac{d}{d h} [r]$ als $r'$ um.

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r')$

Schritt 4.13

Vereinfache.

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Schritt 4.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$π (\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h)) + π ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r')$

Schritt 4.13.2

Kombiniere $\frac{r}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $π$ .

$\frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 r r' + 2 h) + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Schritt 4.13.3

Stelle die Terme um.

$(2 r r' + 2 h) \frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Schritt 4.13.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.13.4.1

Mutltipliziere $2 r r' + 2 h$ mit $\frac{r π}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 r r' + 2 h) (r π)}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Schritt 4.13.4.2

Faktorisiere $2$ aus $(2 r r' + 2 h) (r π)$ heraus.

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Schritt 4.13.4.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.13.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}})} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Schritt 4.13.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((r r' + h) (r π))}{2 {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Schritt 4.13.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(r r' + h) (r π)}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

$\frac{(r r' + h) r π}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$

Schritt 4.13.5

Um $π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r'$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(r r' + h) r π}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(r r' + h) r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.13.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(r r' r + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.7.2

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.13.7.2.1

Bewege $r$ .

$\frac{(r \cdot r r' + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.7.2.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$\frac{(r^{2} r' + h r) π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} r' {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.7.4

Multipliziere ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.13.7.4.1

Bewege ${(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π ({(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.7.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.7.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.7.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{\frac{2}{2}} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.7.4.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π {(r^{2} + h^{2})}^{1} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.7.5

Vereinfache $π {(r^{2} + h^{2})}^{1} r'$ .

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π (r^{2} + h^{2}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + (π r^{2} + π h^{2}) r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.7.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{r^{2} r' π + h r π + π r^{2} r' + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.7.8

Addiere $r^{2} r' π$ und $π r^{2} r'$ .

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Schritt 4.13.7.8.1

Stelle $r^{2}$ und $π$ um.

$\frac{π r^{2} r' + π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.7.8.2

Addiere $π r^{2} r'$ und $π r^{2} r'$ .

$\frac{2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$0 = \frac{2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r'}{{(r^{2} + h^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Löse nach $r'$ auf.

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Schritt 6.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 π r^{2} r' + h r π + π h^{2} r' = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $r'$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $h r π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 π r^{2} r' + π h^{2} r' = - h r π$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $π r'$ aus $2 π r^{2} r' + π h^{2} r'$ heraus.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $π r'$ aus $2 π r^{2} r'$ heraus.

$π r' (2 r^{2}) + π h^{2} r' = - h r π$

Schritt 6.2.2.2

Faktorisiere $π r'$ aus $π h^{2} r'$ heraus.

$π r' (2 r^{2}) + π r' h^{2} = - h r π$

Schritt 6.2.2.3

Faktorisiere $π r'$ aus $π r' (2 r^{2}) + π r' h^{2}$ heraus.

$π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$

Schritt 6.2.3

Teile jeden Ausdruck in $π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$ durch $π (2 r^{2} + h^{2})$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $π r' (2 r^{2} + h^{2}) = - h r π$ durch $π (2 r^{2} + h^{2})$ .

$\frac{π r' (2 r^{2} + h^{2})}{π (2 r^{2} + h^{2})} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π r' (2 r^{2} + h^{2})}{π (2 r^{2} + h^{2})} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Schritt 6.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r' (2 r^{2} + h^{2})}{2 r^{2} + h^{2}} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 r^{2} + h^{2}$ .

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Schritt 6.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r' (2 r^{2} + h^{2})}{2 r^{2} + h^{2}} = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Schritt 6.2.3.2.2.2

Dividiere $r'$ durch $1$ .

$r' = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.2.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r' = \frac{- h r π}{π (2 r^{2} + h^{2})}$

Schritt 6.2.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r' = \frac{- h r}{2 r^{2} + h^{2}}$

Schritt 6.2.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r' = - \frac{h r}{2 r^{2} + h^{2}}$

Schritt 7

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d h}$ .

$\frac{d r}{d h} = - \frac{h r}{2 r^{2} + h^{2}}$