Analysis Beispiele

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

Schritt 1

Es gilt $y = f (θ)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (y) = \ln (f (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ) \tan (θ))$

Schritt 2

Schreibe $\ln (\sec (θ) \tan (θ))$ als $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ um.

$\ln (y) = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))]$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \ln (θ)$ und $g (θ) = \sec (θ)$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Schritt 3.2.3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Schritt 3.2.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Schritt 3.2.3.2

Die Ableitung von $\sec (θ)$ nach $θ$ ist $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\sec (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Schritt 3.2.3.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (θ)}$ zu dividieren.

$\frac{y'}{y} = 1 \cos (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Schritt 3.2.3.5

Mutltipliziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Schritt 3.2.4

Berechne $\frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

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Schritt 3.2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \ln (θ)$ und $g (θ) = \tan (θ)$ .

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Schritt 3.2.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Schritt 3.2.4.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Schritt 3.2.4.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Schritt 3.2.4.2

Die Ableitung von $\tan (θ)$ nach $θ$ ist $\sec^{2} (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \sec^{2} (θ)$

Schritt 3.2.4.3

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}} \sec^{2} (θ)$

Schritt 3.2.4.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ zu dividieren.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sec^{2} (θ)$

Schritt 3.2.4.5

Wandle von $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ nach $\cot (θ)$ um.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \cot (θ) \sec^{2} (θ)$

Schritt 3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.5.2.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.5.2.1.1

Stelle $\cos (θ)$ und $\sec (θ)$ um.

$\frac{y'}{y} = \sec (θ) \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Schreibe $\cos (θ) \sec (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\cos (θ)} \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Schritt 3.2.5.2.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{y'}{y} = 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Schritt 3.2.5.2.2

Mutltipliziere $\tan (θ)$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Schritt 3.2.5.2.3

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Schritt 3.2.5.2.4

Schreibe $\sec (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \cot (θ)$

Schritt 3.2.5.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (θ)}$ an.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

Schritt 3.2.5.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

Schritt 3.2.5.2.7

Schreibe $\cot (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 3.2.5.2.8

Kombinieren.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.2.5.2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos (θ)$ und $\cos^{2} (θ)$ .

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Schritt 3.2.5.2.9.1

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $1 \cos (θ)$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.2.5.2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.5.2.9.2.1

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Schritt 3.2.5.2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Schritt 3.2.5.2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.2.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.5.3.1

Wandle von $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ nach $\tan (θ)$ um.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.2.5.3.2

Separiere Brüche.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Schritt 3.2.5.3.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (θ)}$ nach $\sec (θ)$ um.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Schritt 3.2.5.3.4

Wandle von $\frac{1}{\sin (θ)}$ nach $\csc (θ)$ um.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)$

Schritt 4

Isoliere $y'$ und ersetze die Originalfunktion für $y$ auf der rechten Seite.

$y' = (\tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)) (\sec (θ) \tan (θ))$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Schritt 5.2

Multipliziere $\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

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Schritt 5.2.1

Potenziere $\tan (θ)$ mit $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Schritt 5.2.2

Potenziere $\tan (θ)$ mit $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Schritt 5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Schritt 5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Schritt 5.3

Multipliziere $\csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

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Schritt 5.3.1

Potenziere $\sec (θ)$ mit $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)) \tan (θ)$

Schritt 5.3.2

Potenziere $\sec (θ)$ mit $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ)$

Schritt 5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1} \tan (θ)$

Schritt 5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec^{2} (θ) \tan (θ)$