Analysis Beispiele

$\int \sin^{2} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\int \sin (x) \sin (x) d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (x)$ und $d v = \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - \int - \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos (x) \cos (x) d x$

Schritt 4

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Schritt 5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos^{2} (x) d x$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + 1 \int \cos^{2} (x) d x$

Schritt 9

Mutltipliziere $\int \cos^{2} (x) d x$ mit $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \int \cos^{2} (x) d x$

Schritt 10

Multipliziere mit $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \int \cos^{2} (x) \cdot 1 d x$

Schritt 11

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos^{2} (x)$ und $d v = 1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x - \int x (- 2 \cos (x) \sin (x)) d x$

Schritt 12

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x - (- 2 \int x (\cos (x) \sin (x)) d x)$

Schritt 13

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x + 2 \int x (\cos (x) \sin (x)) d x$

Schritt 14

Wenn nach $\int \sin^{2} (x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sin^{2} (x) d x$ = $\frac{\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x}{- 1}$ .

$\frac{\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x}{- 1} + C$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x) + C$

Schritt 15.1.2

Schreibe $- 1 (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x)$ als $- (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x)$ um.

$- (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x) + C$

Schritt 15.2

Schreibe $- (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x) + C$ als $- (- \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x) x) + C$ um.

$- (- \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x) x) + C$