Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{5 x}}{5 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{2}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to \infty} x}$

Schritt 2.1.2

Da $x$ für Wurzeln gegen $\infty$ geht, erreicht der Wert $\infty$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Schritt 2.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x}$ als ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.4

Wende die Produktregel auf $5 (x)$ an.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.5

Da $5^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.13

Kombiniere $5^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.14

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 2.5

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

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Schritt 2.5.1

Schreibe $5^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{5}$ um.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 2.5.2

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $\frac{\sqrt{5}}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\sqrt{x}}$ $0$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} \sqrt{5} \cdot 0$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{5}$ mit $0$ .

$0$