Analysis Beispiele

$\frac{x}{y^{3}} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y^{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{3}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y^{3}]}{{(y^{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y^{3}]}{y^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y^{3}]}{y^{6}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y^{3}]}{y^{6}}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$\frac{y^{3} - x \frac{d}{d x} [y^{3}]}{y^{6}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{y^{3} - x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])}{y^{6}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{y^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])}{y^{6}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{y^{3} - x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])}{y^{6}}$

Schritt 2.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{3} - 3 x (y^{2} \frac{d}{d x} [y])}{y^{6}}$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3} - 3 x y^{2} \frac{d}{d x} [y]$ heraus.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{y^{2} y - 3 x y^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{6}}$

Schritt 2.4.2.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 3 x y^{2} \frac{d}{d x} [y]$ heraus.

$\frac{y^{2} y + y^{2} (- 3 x \frac{d}{d x} [y])}{y^{6}}$

Schritt 2.4.2.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} y + y^{2} (- 3 x \frac{d}{d x} [y])$ heraus.

$\frac{y^{2} (y - 3 x \frac{d}{d x} [y])}{y^{6}}$

Schritt 2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{6}$ heraus.

$\frac{y^{2} (y - 3 x \frac{d}{d x} [y])}{y^{2} y^{4}}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} (y - 3 x \frac{d}{d x} [y])}{y^{2} y^{4}}$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y - 3 x \frac{d}{d x} [y]}{y^{4}}$

Schritt 2.6

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{y - 3 x y'}{y^{4}}$

Schritt 2.7

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 x y' + y}{y^{4}}$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{- 3 x y' + y}{y^{4}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Setze den Zähler gleich Null.

$- 3 x y' + y = 0$

Schritt 5.2

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x y' = - y$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x y' = - y$ durch $- 3 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x y' = - y$ durch $- 3 x$ .

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{- y}{- 3 x}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{- y}{- 3 x}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{- 3 x}$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{- 3 x}$

Schritt 5.2.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{- 3 x}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y' = \frac{y}{3 x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x}$