Analysis Beispiele

$\int_{1}^{9} \frac{4 + x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{9} \frac{4 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{9} (4 + x^{2}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{9} (4 + x^{2}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{1}^{9} (4 + x^{2}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{9} (4 + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4

Multipliziere $(4 + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2 - \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d x$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{4 - 1}{2}} d x$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{9} 4 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{9} x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{1}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{9} x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}) + \int_{1}^{9} x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{9}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$4 ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{9}$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$4 (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$4 (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.4

Berechne den Exponenten.

$4 (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (6 - 2 \cdot 1) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$4 (6 - 2) + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.8

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$4 \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 + \frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.10

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$16 + \frac{2}{5} \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.11

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 + \frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 + \frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.12.2

Forme den Ausdruck um.

$16 + \frac{2}{5} \cdot 3^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.13

Potenziere $3$ mit $5$ .

$16 + \frac{2}{5} \cdot 243 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.14

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $243$ .

$16 + \frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.15

Mutltipliziere $2$ mit $243$ .

$16 + \frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9.3.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$16 + \frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

Schritt 9.3.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$16 + \frac{486}{5} - \frac{2}{5}$

Schritt 9.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$16 + \frac{486 - 2}{5}$

Schritt 9.3.19

Subtrahiere $2$ von $486$ .

$16 + \frac{484}{5}$

Schritt 9.3.20

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$16 \cdot \frac{5}{5} + \frac{484}{5}$

Schritt 9.3.21

Kombiniere $16$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16 \cdot 5}{5} + \frac{484}{5}$

Schritt 9.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 \cdot 5 + 484}{5}$

Schritt 9.3.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.23.1

Mutltipliziere $16$ mit $5$ .

$\frac{80 + 484}{5}$

Schritt 9.3.23.2

Addiere $80$ und $484$ .

$\frac{564}{5}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{564}{5}$

Dezimalform:

$112.8$

Darstellung als gemischte Zahl:

$112 \frac{4}{5}$

Schritt 11