Analysis Beispiele

$y = \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin^{2} (x))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = \sin (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \sin (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$2 \sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$2 \sin (x) \cos (x) x'$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x) x'$ um.

$2 \cos (x) \sin (x) x'$

Schritt 3.4.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x)) x'$

Schritt 3.4.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) x'$

Schritt 3.4.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \sin (2 x) x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\sin (2 x) x' = 1$ um.

$\sin (2 x) x' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $\sin (2 x) x' = 1$ durch $\sin (2 x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sin (2 x) x' = 1$ durch $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) x'}{\sin (2 x)} = \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (2 x) x'}{\sin (2 x)} = \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Wandle von $\frac{1}{\sin (2 x)}$ nach $\csc (2 x)$ um.

$x' = \csc (2 x)$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \csc (2 x)$