Analysis Beispiele

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{t}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}}$ bei $t$ und $1$ .

$lim_{t \to \infty} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

Schritt 5.2

Da die Funktion $t^{\frac{1}{2}}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $2$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 5.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $2$ entfernt.

$lim_{t \to \infty} t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

Schritt 5.2.2

Schreibe $t^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{t}$ um.

$lim_{t \to \infty} \sqrt{t} - lim_{t \to \infty} 2$

Schritt 5.2.3

Da $t$ für Wurzeln gegen $\infty$ geht, erreicht der Wert $\infty$ .

$\infty - lim_{t \to \infty} 2$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.3.1

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$\infty - 1 \cdot 2$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\infty - 2$

Schritt 5.3.2.2

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\infty$