Analysis Beispiele

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere ${(1 + x^{2})}^{2}$ mit $1$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus ${(1 + x^{2})}^{2}$ heraus.

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ heraus.

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ heraus.

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus ${(1 + x^{2})}^{4}$ heraus.

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 15

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 16

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 17

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$\frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$