Analysis Beispiele

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x) + \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 5.2

Multipliziere $(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $2 \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 5.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.1.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (2 x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.1.2.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin (2 x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (2 x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.1.3

Multipliziere $2 \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 5.3.1.3.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.1.3.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.1.4

Stelle $2 \cos (x)$ und $- \sin (x)$ um.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin (x) (2 \cos (x))$

Schritt 5.3.1.5

Füge Klammern hinzu.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - (\sin (x) (2 \cos (x)))$

Schritt 5.3.1.6

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

Schritt 5.3.1.7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin (2 x)$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $\sin (2 x)$ von $\sin (2 x)$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $2 \sin^{2} (x)$ von $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$