Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{12}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \csc (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \csc (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\csc (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Schritt 1.1.3.4.2

Stelle die Faktoren von $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ um.

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = \csc (2 x)$ ein.

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{12})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{2 (6)})$

Schritt 1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \csc (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Schritt 1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{6})$ ist $2$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = \csc (2 x)$ ein.

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{4})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{2 (2)})$

Schritt 1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \csc (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5.2

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{2}^{1}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $- \frac{1}{2} u_{2}$ bei $1$ und $2$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} + 1$

Schritt 4.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 2}{2}$

Schritt 4.2.6

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$