Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ , $1 \leq x \leq 2$

Schritt 1

Überprüfe, ob $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ stetig ist.

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Schritt 1.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[1, 2]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

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Schritt 1.1.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{4 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 x = 0$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 1.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 1.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 2]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ differenzierbar ist.

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Schritt 2.1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 2.1.1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 2.1.1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 2.1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 2.1.1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.1.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Schritt 2.1.1.3.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

Schritt 2.1.1.3.5

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $[1, 2]$ stetig ist.

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Schritt 2.2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[1, 2]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{4 x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.1.2.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.1.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.2.1.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.1.2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.1.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.2.1.2.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 2.2.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 2]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2.3

Die Funktion ist im Intervall $[1, 2]$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $[1, 2]$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 3

Damit die Bogenlänge definiert ist, müssen sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung in dem geschlossenen Intervall $[1, 2]$ stetig sein.

Die Funktion und ihre Ableitung sind in dem abgeschlossenen Intervall $[1, 2]$ stetig.

Schritt 4

Ermittele die Ableitung von $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 4.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Schritt 4.3.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

Schritt 4.3.5

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Schritt 5

Um die Bogenlänge einer Funktion zu bestimmen, benutze die Formel $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}})}^{2}} d x$

Schritt 6

Berechne das Integral.

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Schritt 6.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{4 x^{4} + 1}{x^{2}} d x$

Schritt 6.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 6.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{- 2} d x$

Schritt 6.3

Multipliziere $(4 x^{4} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{4} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 (x^{- 2} x^{4}) + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{- 2 + 4} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.4.1.3

Addiere $- 2$ und $4$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + 1 x^{- 2} d x$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + x^{- 2} d x$

Schritt 6.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{2} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Schritt 6.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Schritt 6.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Schritt 6.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Schritt 6.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 6.10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.10.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $1$ .

$\frac{1}{4} (4 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 6.10.2

Berechne $- x^{- 1}$ bei $2$ und $1$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 6.10.3

Vereinfache.

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Schritt 6.10.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 6.10.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 6.10.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} (4 \frac{8 - 1}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 6.10.3.4

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{7}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 6.10.3.5

Kombiniere $4$ und $\frac{7}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 7}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 6.10.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 6.10.3.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Schritt 6.10.3.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1)$

Schritt 6.10.3.9

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Schritt 6.10.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{- 1 + 2}{2})$

Schritt 6.10.3.11

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{1}{2})$

Schritt 6.10.3.12

Um $\frac{28}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 6.10.3.13

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 6.10.3.14

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.10.3.14.1

Mutltipliziere $\frac{28}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 6.10.3.14.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 6.10.3.14.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

Schritt 6.10.3.14.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6})$

Schritt 6.10.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{28 \cdot 2 + 3}{6}$

Schritt 6.10.3.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.10.3.16.1

Mutltipliziere $28$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{56 + 3}{6}$

Schritt 6.10.3.16.2

Addiere $56$ und $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{59}{6}$

Schritt 6.10.3.17

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{59}{6}$ .

$\frac{59}{4 \cdot 6}$

Schritt 6.10.3.18

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\frac{59}{24}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{59}{24}$

Dezimalform:

$2.458\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{11}{24}$

Schritt 8