Analysis Beispiele

$\frac{3}{x} - \frac{x}{y} = 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{x} - \frac{x}{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $\frac{x}{y}$ mit $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Schritt 2.3.8

Addiere $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ und $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.1.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.5.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.5.1.3

Um $- \frac{3}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.5.1.4

Um $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.5.1.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{2} y^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.5.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{3}{x^{2}}$ mit $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.5.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Schritt 2.5.1.5.3

Stelle die Faktoren von $y^{2} x^{2}$ um.

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Schritt 2.5.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 y^{2} - (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Setze den Zähler gleich Null.

$- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y') = 0$

Schritt 5.2

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{2} (- x y') = 0$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x \cdot x^{2}) (- 1 y') = 0$

Schritt 5.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x^{1} x^{2}) (- 1 y') = 0$

Schritt 5.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{1 + 2} (- 1 y') = 0$

Schritt 5.2.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{3} (- 1 y') = 0$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 x^{3} y' = 0$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y + 1 x^{3} y' = 0$

Schritt 5.2.1.3.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y + x^{3} y' = 0$

Schritt 5.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $3 y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} y + x^{3} y' = 3 y^{2}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $x^{2} y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$

Schritt 5.2.3

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ durch $x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ durch $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{3}}$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x}$

Schritt 5.2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{2} x}$

Schritt 5.2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$