Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt{2 x - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $2 x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 2 - x^{2}}} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 2 + x (- x)}} d x$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2 + x (- x)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{x (2 - x)}} d x$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot 2 + x (- x)$

Schritt 2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 \cdot x + x (- x)$

Schritt 2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot x - x \cdot x$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.4.1

Bewege $x$ .

$2 x - (x \cdot x)$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x - x^{2}$

Schritt 2.1.5

Stelle $2 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 2 x$

Schritt 2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = - 1$

Schritt 2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Schritt 2.5.2.1.3

Dividiere $4$ durch $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Schritt 2.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$e = 1$

Schritt 2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x - 1)}^{2} + 1$ ein.

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - 1)}^{2} + 1}} d x$

Schritt 3

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

Schritt 4.2

Stelle $- u^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\arcsin (x - 1) + C$