Analysis Beispiele

$\int (\frac{2 t^{4} - t^{2} + t}{t}) d t$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{2 t^{4} - t^{2} + t}{t} d t$

Schritt 2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $t$ aus $2 t^{4} - t^{2} + t$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $t$ aus $2 t^{4}$ heraus.

$\int \frac{t (2 t^{3}) - t^{2} + t}{t} d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $t$ aus $- t^{2}$ heraus.

$\int \frac{t (2 t^{3}) + t (- t) + t}{t} d t$

Schritt 2.1.3

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int \frac{t (2 t^{3}) + t (- t) + t^{1}}{t} d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\int \frac{t (2 t^{3}) + t (- t) + t \cdot 1}{t} d t$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $t$ aus $t (2 t^{3}) + t (- t)$ heraus.

$\int \frac{t (2 t^{3} - t) + t \cdot 1}{t} d t$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $t$ aus $t (2 t^{3} - t) + t \cdot 1$ heraus.

$\int \frac{t (2 t^{3} - t + 1)}{t} d t$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{t (2 t^{3} - t + 1)}{t} d t$

Schritt 2.2.2

Dividiere $2 t^{3} - t + 1$ durch $1$ .

$\int 2 t^{3} - t + 1 d t$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 t^{3} d t + \int - t d t + \int d t$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int t^{3} d t + \int - t d t + \int d t$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{3}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \int - t d t + \int d t$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{4} t^{4} + C) - \int t d t + \int d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$2 (\frac{1}{4} t^{4} + C) - (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int d t$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{1}{4} t^{4} + C) - (\frac{1}{2} t^{2} + C) + t + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $t^{4}$ .

$2 (\frac{t^{4}}{4} + C) - (\frac{1}{2} t^{2} + C) + t + C$

Schritt 9.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$2 (\frac{t^{4}}{4} + C) - (\frac{t^{2}}{2} + C) + t + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$\frac{t^{4}}{2} - \frac{t^{2}}{2} + t + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} t^{4} - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$