Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} 1 + x^{2} & x < 1 \\ 2 x + 3 & x \geq 1 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $1 + x^{2}$ , wenn sich $x$ von links $1$ nähert.

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Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen linksseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 1^{-}} 1 + x^{2}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$lim_{x \to 1^{-}} 1 + lim_{x \to 1^{-}} x^{2}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$1 + lim_{x \to 1^{-}} x^{2}$

Schritt 1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$1 + {(lim_{x \to 1^{-}} x)}^{2}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$1 + 1^{2}$

Schritt 1.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 1$

Schritt 1.4.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2$

Schritt 2

Berechne $2 x + 3$ bei $1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$2 (1) + 3$

Schritt 2.2

Berechne.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 3$

Schritt 2.2.2

Addiere $2$ und $3$ .

$5$

Schritt 3

Da die Grenze von $1 + x^{2}$ bei Annäherung von $x$ an $1$ von links nicht gleich dem Funktionswert bei $x = 1$ ist, ist die Funktion bei $x = 1$ nicht kontinuierlich.

Nicht stetig

Schritt 4