Analysis Beispiele

$lim_{x \to 6} \frac{5 \sqrt{x} + 3}{4 x^{2}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 6} \frac{5 \sqrt{x} + 3}{x^{2}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 6} 5 \sqrt{x} + 3}{lim_{x \to 6} x^{2}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 6} 5 \sqrt{x} + lim_{x \to 6} 3}{lim_{x \to 6} x^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{5 lim_{x \to 6} \sqrt{x} + lim_{x \to 6} 3}{lim_{x \to 6} x^{2}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{5 \sqrt{lim_{x \to 6} x} + lim_{x \to 6} 3}{lim_{x \to 6} x^{2}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{5 \sqrt{lim_{x \to 6} x} + 3}{lim_{x \to 6} x^{2}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{5 \sqrt{lim_{x \to 6} x} + 3}{{(lim_{x \to 6} x)}^{2}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $6$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{5 \sqrt{6} + 3}{{(lim_{x \to 6} x)}^{2}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{5 \sqrt{6} + 3}{6^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{5 \sqrt{6} + 3}{36}$

Schritt 9.2

Multipliziere $\frac{1}{4} \cdot \frac{5 \sqrt{6} + 3}{36}$ .

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{5 \sqrt{6} + 3}{36}$ .

$\frac{5 \sqrt{6} + 3}{4 \cdot 36}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $36$ .

$\frac{5 \sqrt{6} + 3}{144}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5 \sqrt{6} + 3}{144}$

Dezimalform:

$0.10588506 \dots$