Analysis Beispiele

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(x - h)}^{2}$ als $(x - h) (x - h)$ um.

$f (x) = a ((x - h) (x - h)) + k$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - h) (x - h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = a (x (x - h) - h (x - h)) + k$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + k$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + k$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)) + k$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere $h$ mit $h$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.4.1

Bewege $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))) + k$

Schritt 1.3.1.4.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})) + k$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + k$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $h^{2}$ mit $1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + k$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $h x$ von $- x h$ .

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Schritt 1.3.2.1

Bewege $x$ .

$f (x) = a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + k$

Schritt 1.3.2.2

Subtrahiere $h x$ von $- h x$ .

$f (x) = a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + k$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + k$

Schritt 1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k$

Schritt 2

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 3

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{0}{2 (1)}$

Schritt 3.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{0}{2 (1)}$

Schritt 3.3

Vereinfache $- \frac{0}{2 (1)}$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$x = - \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{0}{1}$

Schritt 3.3.1.2.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$x = - 0$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Berechne $f (0)$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = a {(0)}^{2} - 2 a h \cdot 0 + a h^{2} + k$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = a \cdot 0 - 2 a h \cdot 0 + a h^{2} + k$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 2 a h \cdot 0 + a h^{2} + k$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere $- 2 a h \cdot 0$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 2$ .

$f (0) = 0 + 0 a h + a h^{2} + k$

Schritt 4.2.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $a$ .

$f (0) = 0 + 0 h + a h^{2} + k$

Schritt 4.2.1.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $h$ .

$f (0) = 0 + 0 + a h^{2} + k$

Schritt 4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + a h^{2} + k$ .

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + a h^{2} + k$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $a h^{2}$ .

$f (0) = a h^{2} + k$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $a h^{2} + k$ .

$a h^{2} + k$

Schritt 5

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(0, a h^{2} + k)$

Schritt 6