Analysis Beispiele

$x + \sqrt{4 - x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sqrt{4 - x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 - x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 - x^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 - x^{2}}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x^{2}}$ als ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x))$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x))$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x))$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + \frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x))$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x)$

Schritt 2.13

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x)$

Schritt 2.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x)$

Schritt 2.15

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x$

Schritt 2.16

Kombiniere $\frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$1 + \frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Schritt 2.17

Bringe ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.18

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$1 + \frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.19.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$1 + \frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.19.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Stelle die Terme um.

$- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 1$