Analysis Beispiele

$y = \sqrt{2 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

Schritt 1

Überprüfe, ob $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ stetig ist.

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Schritt 1.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[0, 1]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

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Schritt 1.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - x^{2} \geq 0$

Schritt 1.1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 2$

Schritt 1.1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 1.1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 1.1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.4.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Schritt 1.1.2.5

Schreibe $| x | \leq \sqrt{2}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1.2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.1.2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq \sqrt{2}$

Schritt 1.1.2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.1.2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq \sqrt{2}$

Schritt 1.1.2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.1.2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq \sqrt{2}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Schritt 1.1.2.7

Löse $- x \leq \sqrt{2}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 1.1.2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq \sqrt{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq \sqrt{2}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 1.1.2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 1.1.2.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 1.1.2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Schritt 1.1.2.7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{2}$ als $- \sqrt{2}$ um.

$x \geq - \sqrt{2}$

Schritt 1.1.2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - \sqrt{2}$ und $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Schritt 1.1.2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Schritt 1.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Intervallschreibweise:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Schritt 1.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 1]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ differenzierbar ist.

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Schritt 2.1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - x^{2}}$ als ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 2.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 2.1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 2.1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 2.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 2.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 2.1.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 2.1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 2.1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 2.1.1.7.3

Bringe ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 2.1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.1.1.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.1.1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.1.1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Schritt 2.1.1.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.1.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Schritt 2.1.1.13.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 2.1.1.13.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.13.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.1.1.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $[0, 1]$ stetig ist.

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Schritt 2.2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[0, 1]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{x}{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{1}}}$

Schritt 2.2.1.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Schritt 2.2.1.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - x^{2} \geq 0$

Schritt 2.2.1.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1.3.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 2$

Schritt 2.2.1.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1.3.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.1.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.1.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.1.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1.3.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Schritt 2.2.1.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Schritt 2.2.1.3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.3.4.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Schritt 2.2.1.3.5

Schreibe $| x | \leq \sqrt{2}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.2.1.3.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.2.1.3.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq \sqrt{2}$

Schritt 2.2.1.3.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.2.1.3.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq \sqrt{2}$

Schritt 2.2.1.3.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.2.1.3.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq \sqrt{2}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Schritt 2.2.1.3.7

Löse $- x \leq \sqrt{2}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 2.2.1.3.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq \sqrt{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1.3.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq \sqrt{2}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.2.1.3.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.3.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.2.1.3.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 2.2.1.3.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1.3.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Schritt 2.2.1.3.7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{2}$ als $- \sqrt{2}$ um.

$x \geq - \sqrt{2}$

Schritt 2.2.1.3.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - \sqrt{2}$ und $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Schritt 2.2.1.3.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Schritt 2.2.1.4

Setze den Nenner in $\frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{2 - x^{2}} = 0$

Schritt 2.2.1.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1.5.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.1.5.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1.5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - x^{2}}$ als ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.5.2.2.1

Vereinfache ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.5.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.5.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.1.5.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.5.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.1.5.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 2.2.1.5.2.2.1.2

Vereinfache.

$2 - x^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1.5.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.1.5.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1.5.3.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 2$

Schritt 2.2.1.5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1.5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.1.5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.5.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.1.5.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.1.5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1.5.3.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Schritt 2.2.1.5.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.2.1.5.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.1.5.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 2.2.1.5.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 2.2.1.5.3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 2.2.1.6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

Intervallschreibweise:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

Schritt 2.2.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 1]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2.3

Die Funktion ist im Intervall $[0, 1]$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $[0, 1]$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 3

Damit die Bogenlänge definiert ist, müssen sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung in dem geschlossenen Intervall $[0, 1]$ stetig sein.

Die Funktion und ihre Ableitung sind in dem abgeschlossenen Intervall $[0, 1]$ stetig.

Schritt 4

Ermittele die Ableitung von $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - x^{2}}$ als ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 4.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 4.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Schritt 4.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Schritt 4.13.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 4.13.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Um die Bogenlänge einer Funktion zu bestimmen, benutze die Formel $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d x$

Schritt 6