Analysis Beispiele

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $d^{2}$ und $d$ .

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $d$ aus $d^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{d \cdot d}{d x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))]$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $d$ aus $d x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{d \cdot d}{d (x^{2})} (\sin (x) + \cos (x))]$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{d \cdot d}{d x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))]$

Schritt 1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{d}{x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))]$

Schritt 1.2

Da $\sin (x) + \cos (x)$ konstant bezüglich $d$ ist, ist die Ableitung von $\frac{d}{x^{2}} (\sin (x) + \cos (x))$ nach $d$ gleich $(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d \cdot d} [\frac{d}{x^{2}}]$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d \cdot d} [\frac{d}{x^{2}}]$

Schritt 1.3

Da $\frac{1}{x^{2}}$ konstant bezüglich $d$ ist, ist die Ableitung von $\frac{d}{x^{2}}$ nach $d$ gleich $\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d \cdot d} [d]$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d \cdot d} [d])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d \cdot d} [d^{n}]$ gleich $n d^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\sin (x) + \cos (x)$ mit $1$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \frac{1}{x^{2}} + \cos (x) \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.6.2.1

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\sin (x)}{x^{2}} + \cos (x) \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.6.2.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (d) = \frac{\sin (x)}{x^{2}} + \frac{\cos (x)}{x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{\sin (x)}{x^{2}} + \frac{\cos (x)}{x^{2}}$ nach $d$ $\frac{d}{d \cdot d} [\frac{\sin (x)}{x^{2}}] + \frac{d}{d \cdot d} [\frac{\cos (x)}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d \cdot d} [\frac{\sin (x)}{x^{2}}] + \frac{d}{d \cdot d} [\frac{\cos (x)}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

Da $\frac{\sin (x)}{x^{2}}$ konstant bezüglich $d$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\sin (x)}{x^{2}}$ bezüglich $d$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d \cdot d} [\frac{\cos (x)}{x^{2}}]$

Schritt 2.3

Da $\frac{\cos (x)}{x^{2}}$ konstant bezüglich $d$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\cos (x)}{x^{2}}$ bezüglich $d$ gleich $0$ .

$0 + 0$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (d) = 0$