Analysis Beispiele

$e^{2 y} - e^{y^{2} - y} = x^{4} - x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{2 y} - e^{y^{2} - y}) = \frac{d}{d x} (x^{4} - x^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 y} - e^{y^{2} - y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{2 y}] + \frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 y}] + \frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{2 y}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 y$ .

$e^{2 y} \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{2 y} (2 \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{2 y} (2 y') + \frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{y^{2} - y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{y^{2} - y}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{y^{2} - y}]$ .

$e^{2 y} (2 y') - \frac{d}{d x} [e^{y^{2} - y}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y^{2} - y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y^{2} - y$ .

$e^{2 y} (2 y') - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [y^{2} - y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{2 y} (2 y') - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [y^{2} - y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y^{2} - y$ .

$e^{2 y} (2 y') - (e^{y^{2} - y} \frac{d}{d x} [y^{2} - y])$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{2 y} (2 y') - (e^{y^{2} - y} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $y$ .

$e^{2 y} (2 y') - (e^{y^{2} - y} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y]))$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{2 y} (2 y') - (e^{y^{2} - y} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y]))$

Schritt 2.3.4.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $y$ .

$e^{2 y} (2 y') - (e^{y^{2} - y} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y]))$

Schritt 2.3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{2 y} (2 y') - (e^{y^{2} - y} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- y]))$

Schritt 2.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{2 y} (2 y') - (e^{y^{2} - y} (2 y y' - \frac{d}{d x} [y]))$

Schritt 2.3.7

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{2 y} (2 y') - e^{y^{2} - y} (2 y y' - y')$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2 y} (2 y') - e^{y^{2} - y} (2 y y') - e^{y^{2} - y} (- y')$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{2 y} (2 y') - 2 e^{y^{2} - y} (y y') - e^{y^{2} - y} (- y')$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{2 y} (2 y') - 2 e^{y^{2} - y} (y y') + 1 e^{y^{2} - y} y'$

Schritt 2.4.2.3

Mutltipliziere $e^{y^{2} - y}$ mit $1$ .

$e^{2 y} (2 y') - 2 e^{y^{2} - y} (y y') + e^{y^{2} - y} y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$2 e^{2 y} y' - 2 e^{y^{2} - y} y y' + e^{y^{2} - y} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - (2 x)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 x^{3} - 2 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 e^{2 y} y' - 2 e^{y^{2} - y} y y' + e^{y^{2} - y} y' = 4 x^{3} - 2 x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $2 e^{2 y} y' - 2 e^{y^{2} - y} y y' + e^{y^{2} - y} y'$ um.

$2 y' e^{2 y} - 2 y y' e^{y^{2} - y} + y' e^{y^{2} - y} = 4 x^{3} - 2 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y' e^{2 y} - 2 y y' e^{y^{2} - y} + y' e^{y^{2} - y}$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 y' e^{2 y}$ heraus.

$y' (2 e^{2 y}) - 2 y y' e^{y^{2} - y} + y' (e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y' e^{y^{2} - y}$ heraus.

$y' (2 e^{2 y}) + y' (- 2 y e^{y^{2} - y}) + y' (e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' e^{y^{2} - y}$ heraus.

$y' (2 e^{2 y}) + y' (- 2 y e^{y^{2} - y}) + y' (e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 e^{2 y}) + y' (- 2 y e^{y^{2} - y})$ heraus.

$y' (2 e^{2 y} - 2 y e^{y^{2} - y}) + y' (e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 e^{2 y} - 2 y e^{y^{2} - y}) + y' (e^{y^{2} - y})$ heraus.

$y' (2 e^{2 y} - 2 y e^{y^{2} - y} + e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$y' (- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$ durch $- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}) = 4 x^{3} - 2 x$ durch $- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}$ .

$\frac{y' (- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y})}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}} = \frac{4 x^{3}}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}} + \frac{- 2 x}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}} + \frac{- 2 x}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{4 x^{3}}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}} - \frac{2 x}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}}$

Schritt 5.4.3.2

Stelle die Faktoren in $\frac{4 x^{3}}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}} - \frac{2 x}{- 2 e^{y^{2} - y} y + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}}$ um.

$y' = \frac{4 x^{3}}{- 2 y e^{y^{2} - y} + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}} - \frac{2 x}{- 2 y e^{y^{2} - y} + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3}}{- 2 y e^{y^{2} - y} + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}} - \frac{2 x}{- 2 y e^{y^{2} - y} + 2 e^{2 y} + e^{y^{2} - y}}$