Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{3} x^{- 2} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{6}{x^{3}} d x$

Schritt 6

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - (6 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} x^{- 3} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{3})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{3})$

Schritt 9.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3})$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $3$ und $1$ .

$(- 3^{- 1}) + 1^{- 1} - 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3})$

Schritt 9.2.2

Berechne $- \frac{1}{2 x^{2}}$ bei $3$ und $1$ .

$(- 3^{- 1}) + 1^{- 1} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3} + 1^{- 1} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 9.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{3} + 1 - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 9.2.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 9.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 3}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 9.2.3.5

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{2}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 9.2.3.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 9.2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Schritt 9.2.3.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Schritt 9.2.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Schritt 9.2.3.10

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Schritt 9.2.3.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.2.3.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Schritt 9.2.3.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Schritt 9.2.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} - 6 \frac{- 1 + 9}{18}$

Schritt 9.2.3.13

Addiere $- 1$ und $9$ .

$\frac{2}{3} - 6 (\frac{8}{18})$

Schritt 9.2.3.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $18$ .

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Schritt 9.2.3.14.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 (4)}{18}$

Schritt 9.2.3.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Schritt 9.2.3.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Schritt 9.2.3.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} - 6 (\frac{4}{9})$

Schritt 9.2.3.15

Kombiniere $- 6$ und $\frac{4}{9}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{- 6 \cdot 4}{9}$

Schritt 9.2.3.16

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$\frac{2}{3} + \frac{- 24}{9}$

Schritt 9.2.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $9$ .

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Schritt 9.2.3.17.1

Faktorisiere $3$ aus $- 24$ heraus.

$\frac{2}{3} + \frac{3 (- 8)}{9}$

Schritt 9.2.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.17.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 3}$

Schritt 9.2.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 3}$

Schritt 9.2.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} + \frac{- 8}{3}$

Schritt 9.2.3.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 9.2.3.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - 8}{3}$

Schritt 9.2.3.20

Subtrahiere $8$ von $2$ .

$\frac{- 6}{3}$

Schritt 9.2.3.21

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 9.2.3.21.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 2}{3}$

Schritt 9.2.3.21.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.21.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

Schritt 9.2.3.21.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

Schritt 9.2.3.21.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{1}$

Schritt 9.2.3.21.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2$

Schritt 10