Analysis Beispiele

${(x + 1)}^{3} - x^{3}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x + 1)}^{3} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - (3 x^{2})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3 x^{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{2} + 3 {(x + 1)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$- 3 x^{2} + 3 ((x + 1) (x + 1))$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 x^{2} + 3 (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Schritt 4.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Schritt 4.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Schritt 4.2.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Schritt 4.2.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Schritt 4.2.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1)$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + 2 x + 1)$

Schritt 4.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3$

Schritt 4.3

Addiere $- 3 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$0 + 6 x + 3$

Schritt 4.4

Addiere $0$ und $6 x$ .

$6 x + 3$