Analysis Beispiele

$2 x^{3} y^{4} = \sqrt{x - y}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - y}$ als ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x^{3} y^{4} = {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} y^{4}) = \frac{d}{d x} ({(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3} y^{4}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{4}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y^{4}$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$2 (x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 (x^{3} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$2 (4 \cdot x^{3} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (4 x^{3} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (4 x^{3} y^{3} y' + y^{4} (3 x^{2}))$

Schritt 3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{4}$ .

$2 (4 x^{3} y^{3} y' + 3 \cdot y^{4} x^{2})$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (4 x^{3} y^{3} y') + 2 (3 y^{4} x^{2})$

Schritt 3.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.8.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 (x^{3} y^{3} y') + 2 (3 y^{4} x^{2})$

Schritt 3.8.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2}$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - y$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - y$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 4.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 4.6.3

Bringe ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 4.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 4.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.10

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 - y')$

Schritt 4.11

Vereinfache.

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Schritt 4.11.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 - y')$ um.

$(1 - y') \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.11.2

Mutltipliziere $1 - y'$ mit $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten mit $2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2}) (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache $(8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2}) (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{3} y^{3} y' (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + 6 y^{4} x^{2} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 x^{3} y^{3} y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 6 y^{4} x^{2} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$16 x^{3} y^{3} y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 y^{4} x^{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.2.3

Bewege $y^{3}$ .

$16 x^{3} y' y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 y^{4} x^{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.2.4

Bewege $x^{3}$ .

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 y^{4} x^{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.1.1.2.5

Bewege $y^{4}$ .

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $\frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = 1 - y'$

Schritt 6.2.2.1.4

Stelle $1$ und $- y'$ um.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = - y' + 1$

Schritt 6.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.3.1

Addiere $y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y' = 1$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y' = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y'$ heraus.

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Schritt 6.3.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.3.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.3.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot 1 = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1) = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1) = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ durch $16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1) = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ durch $16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1} = \frac{1}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1} + \frac{- 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$

Schritt 6.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.3.4.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1} + \frac{- 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$

Schritt 6.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$