Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{1 + x}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot 1}{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{1}{x} + 1}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 1}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 1}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 1}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{0 + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{0 + 1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0 - 1 \cdot 1$ und $0 + 1$ .

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Schritt 6.2.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$\frac{- 1 (0) - 1 \cdot 1}{0 + 1}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 1$ heraus.

$\frac{- 1 (0) - 1 (1)}{0 + 1}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (0) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- 1 (0 + 1)}{0 + 1}$

Schritt 6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (0 + 1)}{0 + 1}$

Schritt 6.2.5

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$