Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{\log_{2} (x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x + 1}{lim_{x \to 2} \log_{2} (x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \log_{2} (x)}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \log_{2} (x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 1}{lim_{x \to 2} \log_{2} (x)}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x + 1}{\log_{2} (lim_{x \to 2} x)}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 1}{\log_{2} (lim_{x \to 2} x)}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 1}{\log_{2} (2)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 + 1}{\log_{2} (2)}$

Schritt 7.1.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{5}{\log_{2} (2)}$

Schritt 7.2

Die logarithmische Basis $2$ von $2$ ist $1$ .

$\frac{5}{1}$

Schritt 7.3

Dividiere $5$ durch $1$ .

$5$