Analysis Beispiele

$\int x^{3} e^{2 x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{3}$ und $d v = e^{2 x}$ .

$x^{3} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$x^{3} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2} \cdot 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot 3$ aus dem Integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 x} (x^{2}) d x)$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \int e^{2 x} (x^{2}) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x)$

Schritt 6.4

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x)$

Schritt 6.5

Kombiniere $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ und $x$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x)$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x)$

Schritt 6.6.2

Dividiere $e^{2 x} x$ durch $1$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x)$

Schritt 7

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Schritt 8.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

Schritt 8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x))$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)))$

Schritt 10

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u))$

Schritt 11

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Schritt 13

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u))$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Schritt 14

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Schreibe $\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$ als $\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) + C$ um.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) + C$

Schritt 15.2

Vereinfache.

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Schritt 15.2.1

Um $- \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 15.2.2

Kombiniere $- \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{- \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 15.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{3} e^{2 x} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 15.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x} - 2 (\frac{3}{2}) (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Schritt 15.2.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Schritt 15.2.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{- 6}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Schritt 15.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 15.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{2 \cdot - 3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Schritt 15.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Schritt 15.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Schritt 15.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{- 3}{1} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Schritt 15.2.7.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

Schritt 16

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{x^{3} e^{2 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (x^{3} e^{2 x} - 3 (\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} x e^{2 x} + \frac{1}{4} e^{2 x})) + C$

Schritt 18

Schreibe $\frac{1}{2} (x^{3} e^{2 x} - 3 (\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} x e^{2 x} + \frac{1}{4} e^{2 x})) + C$ als $\frac{1}{2} (x^{3} e^{2 x} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} x}{2} - \frac{3 e^{2 x}}{4}) + C$ um.

$\frac{1}{2} (x^{3} e^{2 x} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} x}{2} - \frac{3 e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 19

Vereinfache.

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Schritt 19.1

Um $x^{3} e^{2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} x}{2} + x^{3} e^{2 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 19.2

Kombiniere $x^{3} e^{2 x}$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} x}{2} + \frac{x^{3} e^{2 x} \cdot 4}{4} - \frac{3 e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} x}{2} + \frac{x^{3} e^{2 x} \cdot 4 - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 19.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{3} e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} x}{2} + \frac{4 \cdot (x^{3} e^{2 x}) - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 19.5

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} x}{2} + \frac{4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 19.6

Um $- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 19.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 19.7.1

Mutltipliziere $\frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 19.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 19.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x}{2} + \frac{- 3 x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 19.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x}{2} + \frac{- 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 19.10

Um $\frac{3 e^{2 x} x}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 19.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 19.11.1

Mutltipliziere $\frac{3 e^{2 x} x}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 19.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x \cdot 2}{4} + \frac{- 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 19.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{2 x} x \cdot 2 - 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4} + C$

Schritt 19.13

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 e^{2 x} x - 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4} + C$

Schritt 19.14

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{6 e^{2 x} x - 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}$ .

$\frac{6 e^{2 x} x - 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{2 \cdot 4} + C$

Schritt 19.15

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{6 e^{2 x} x - 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{8} + C$

Schritt 20

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{8} (6 e^{2 x} x - 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}) + C$