Analysis Beispiele

$y = x^{e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{e^{x}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $x^{e^{x}}$ als $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

Schritt 3.1.2

Zerlege $\ln (x^{e^{x}})$ durch Herausziehen von $e^{x}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = e^{x} \ln (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{x} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} \ln (x)$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 3.5

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Schritt 3.7.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.7.2.1

Kombiniere $e^{e^{x} \ln (x)}$ und $\frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Schritt 3.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Schritt 3.7.2.3

Multipliziere $e^{e^{x} \ln (x)}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.2.3.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{x} e^{e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 3.7.2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 3.7.2.4

Um $e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Schritt 3.7.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} + e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Schritt 3.7.3

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$